Можно ли размещать на сайте муниципального учреждения платную рекламу для получения прибыли? Например, официально подключиться к рекламной сети Яндекс (РСЯ). Как насчет соблюдения законодательства в этом случае?

Размещение рекламы (предоставление места для рекламы) с целью получения прибыли является рекламной деятельностью (код 74.40 ОКВЭД). Бюджетные учреждения могут осуществлять  деятельность, приносящую доход, в случаях, если это  способствует достижению целей создания учреждения и соответствует этим целям.
При этом такая деятельность должна быть указана в учредительных документах организации. 
Доходы, полученные от такой деятельности,как и приобретенное за счет этих доходов имущество поступают в самостоятельное распоряжение бюджетного учреждения.